Grupos Puntuales

 

GRUPOS PUNTUALES

     Las moléculaspueden clasificarse en grupos denominados "GRUPOS PUNTUALES", los cuales corresponden a ciertas combinaciones de los elementos de simetría. El grupo puntual puede definirse como un conjunto de operaciones que permiten transformar una molecula en ella misma.

     Las operaciones de simetría son elementos de un grupo matemático y por lo tanto sus propiedades se enmarcan dentro de la teoría de grupos en matemáticas. Las moléculas pertenecen a un grupo puntual determinado dependiendo de las operaciones de simetría propias de cada molécula.

Un grupo es la aplicación o combinación de operaciones de simetría:

1. El producto de dos elementos del grupo debe ser un elemento del grupo.
2. La multiplicación de elementos del grupo no es conmutativa.  Sin embargo, hay algunos grupos
    cuya combinación de elementos sí es conmutativa  éstos se denominan Abelianos.
3. Debe existir un elemento del grupo que conmuta con los demás y que al multiplicarlo por los
    otros los deja invariables.  Este elemento es el que se ha designado como la identidad, E.  Es decir:

EX = XE = X

4. La multiplicación de operaciones es asociativa. 

 A(BC) = (AB)C

5. Todo elemento debe tener un recíproco, que es también un elemento del grupo.  El recíproco es tal que al multiplicarlo por el elemento da como resultado la identidad: 

 X X^-1 = X ^-1 X = E

     El número total de elementos de un grupo se llama el orden del grupo y se representa por h.

    En este texto nos concentraremos principalmente en los grupos matemáticos constituidos por el conjunto de operaciones de simetría de una molécula, o sea en los grupos puntuales, aunque sin olvidar que en química es también de importancia el tipo correspondiente a los grupos espaciales, que son los más usados al tratar sistemas cristalinos.  Los primeros se denominan puntuales porque en todas las operaciones permanece inalterado el centro de gravedad de la molécula, mientras que los espaciales incluyen una traslación del centro de gravedad.

     En este punto, es posible definir las clases de operaciones en una forma más precisa.  Las clases son simplemente pequeños conjuntos de elementos dentro de un grupo.  Para determinar si pertenecen a la misma clase, se realiza la siguiente operación, conocida como la transformación por similaridad:

 X^-1 A X = B

Donde:  X,  X^-1 , A y B  son elementos del grupo.

     Cuando se cumple esta relación, se dice que A y B son conjugados entre sí. Se define entonces una clase del grupo como el conjunto completo de elementos que son conjugados entre sí.  En todos los grupos, la identidad constituye una clase por sí misma. Además, en todos los casos, se cumple que el orden de todas las clases es un submúltiplo del orden del grupo.

     Para determinar las clases en un grupo particular, simplemente se efectúan todas las transformaciones por similaridad de un elemento cualquiera usando todos los elementos del grupo incluido él mismo, y a continuación se toma un segundo elemento que no sea conjugado del primero y así sucesivamente, hasta que todos los elementos del grupo pertenezcan a alguna clase.

     Todas las moléculas pertenecen a un grupo puntual, según el conjunto de elementos de simetría que posean, y aunque teóricamente hay un número infinito de grupos puntuales,  pueden clasificarse en unos pocos tipos diferentes. Según la notación de Schöenflies, pueden distinguirse los siguientes tipos de grupos puntuales:

 

1- Grupos C₁ , C_i ,  C_s .
Estos grupos se consideran especiales, dadas sus características. Una molécula pertenece al grupo C₁, si su único elemento de simetría es la identidad; al C_i , si además de la identidad posee solamente un centro de inversión, y al C_s si posee únicamente la identidad y un plano de reflexión.

2- Grupos C_n , C_nv y C_nh:
Una molécula pertenece al grupo C_n  si posee únicamente la identidad y un eje propio de orden n.  Si además de la identidad y el eje de orden n la molécula posee un plano horizontal, pertenece al grupo C_nh. Si por el contrario, no existe plano horizontal pero sí n planos  verticales, pertenece al grupo C_nv.
Dentro de este grupo existe uno especial denominado C_nv cuando el eje de rotación es de orden n.

3- Grupos D_n, D_nh y D_nd:
Una molécula que posee un eje de orden n y además n ejes de orden 2 perpendiculares al eje de orden n, pertenece al grupo D_n.  Si además de lo anterior tiene un plano horizontal, pertenece al grupo D_nh.  En este caso se presenta también el grupo especial D_nh cuando el eje de mayor orden es de orden n.
Una molécula pertenece al grupo  D_nd si presenta el eje C_n, los n ejes C₂ perpendiculares a C_n y además n planos diagonales, s_d.

4- Grupos S_n:
Las moléculas que no se han clasificado en ninguno de los grupos anteriores, pero que poseen un eje S_n, donde n es par y mayor o igual a 4, pertenecen al grupo S_n.  El grupo S₂ no se considera puesto que corresponde al mismo C_i.

5- Grupos cúbicos:
Cuando las moléculas poseen más de un eje principal, pertenecen a los grupos cúbicos.  Estos pueden ser tetraédricos (T, T_d, T_h), octaédricos (O, O_h) e icosaédricos (I_h). Las moléculas cuya estructura es un tetraedro regular pertenecen al grupo T_d y aquellas cuya estructura es un octaedro regular pertenecen al grupo O_h.  Si la molécula posee la simetría rotacional de estos grupos, pero no los planos de reflexión, pertenece a los grupos T u O.  En el grupo T_h se presenta además un centro de inversión.

6- Grupo de rotación completa, R₃:
Este grupo está caracterizado por un infinito número de ejes de rotación con todos los posibles valores de n.  Por ejemplo, una esfera y un átomo pertenecen a este grupo puntual.
En la anterior clasificación debe notarse que hay varios elementos de simetría que no determinan el grupo puntual, sin que esto quiera implicar que no se presentan en los objetos.
     A continuacion los diferrentes ripos de Grupos de simetría

 GRUPOS DE BAJA SIMETRÍA

C1: No tiene elementos de simetría. La única operación de simetría posible  es la operación identidad (Ê)

 Cs: Sólo 1 plano de simetría Operaciones de simetría posibles identidad (Ê) y reflexión (σ ˆ )

Ci: Sólo 1 centro de simetría Operaciónes de simetría posibles identidad (Ê) e inversión ( î )

Cn: (n =2, 3, 4,…): Sólo 1 eje de simetría. 

                                                                            C2

H2O2

Cnh: (n =2, 3, 4,…): 1 eje y 1 plano                           

 Si2H2

C2h

B(OH)3

C3h

Cnv (n =2, 3, 4,…): 1 eje y n planos que contienen al eje

H2O                  C2v

NH3                 C3v

Sn (n =2, 3, 4,…): 1 eje impropio

C2H4F4                          S4

Grupos con 1 eje Cn y n ejes C2




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